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\documentclass[twocolumn]{ctexart}
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\title{无穷级数和微分方程和曲面积分}  % 文章标题
\author{洛白}   % 作者的名称
\date{\today}       % 当天日期
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage
\newpage
\section{无穷级数}
\subsection{常数项级数}
级数的记号：$\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$,其部分和$s_n=\sum_{n=1}^{n} u_{n}$在$n \to \infty$时的极限,是判断级数是否收敛的重要依据。同时，把产生的误差
记做\textbf{余项}：$r_n=s-s_n=\sum_{i=n+1}^{\infty}u_i$
\subsubsection{基本性质}
\begin{itemize}
    \item 收敛的数列互相加减，加减\textbf{有限}项，乘以\textbf{非零}常数，不改变敛散性
    \item 收敛数列加括号仍然\textbf{收敛}，去括号则不一定。
\end{itemize}
\subsubsection{收敛的充分条件和必要条件}
\begin{itemize}
    \item 必要条件：\[\textstyle \lim_{n \to \infty } u_n=0\]
    \item 柯西审敛定理（充分必要条件）：\[\forall \varepsilon >0,\exists N,n>N,|u_{n+1}+\cdots+u_{n+p}|<\varepsilon\]
\end{itemize}
\subsubsection{常见数列的敛散性}
\begin{itemize}
    \item 等比数列:
    \[S_n=\sum_{i=1}^{n}a_1p^{i-1}=a_1\frac{1-x^n}{1-x}(|x|!=1)\]
    \[|x|<1:\text{收敛  }\hspace{1cm}|x|\ge 1:\text{发散}\]
    \item\hypertarget{p}{ p-级数：}
    \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\]
    \[p>1:\text{收敛  }\hspace{1cm} p \in[0,1]:\text{发散}\]
\end{itemize}
\subsection{常用的审敛法}
\subsubsection{正项级数}
\begin{itemize}
    \item 部分和有界（单调有界）
    \item 比较审敛法
    \item 比较审敛法的极限形式
    \[\lim_{n \to \infty}\frac{u_n}{v_n}=l\]
    两个级数的敛散性一样,并且它常常和\textbf{\hyperlink{p}{p-级数}}结合在一起使用
    \item 比值审敛法
    \[\lim_{n \to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho \]
    when $\rho<1$收敛，$\rho>1$发散，$\rho=1$不知
    \item 根值审敛法
    \[\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho \]
    when $\rho<1$收敛，$\rho>1$发散，$\rho=1$不知
    \item 积分审敛法
    \par
    $f(x)$单调递减并且为正数。
\end{itemize}
\subsubsection{交错级数}
交错级数形式如下($u_n \ge 0$):
\[u_1-u_2+u_3+\cdots+u_n\]
或者
\[-u_1+u_2-u_3+\cdots-u_n\]
    \begin{itemize}
        \item 莱布尼茨审敛法
        \par
        
        如果$u_n\ge u_{n+1}$并且$\lim_{n \to \infty}u_n=0$,则交错级数收敛,并且$s\le u_1,|r_n|\le u_{n+1}$
    \end{itemize}
\subsubsection{绝对收敛和条件收敛}
对于正负项任意出现的级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$,考虑$\sum_{n=1}^{\infty}|u_{n}|$的极限。
\begin{itemize}
    \item 如果$\sum_{n=1}^{\infty}|u_{n}|$收敛，那么$\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$绝对收敛（\textbf{必收敛}）。
    \item 如果$\sum_{n=1}^{\infty}|u_{n}|$发散，\textbf{同时}$\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$收敛，称其为\textbf{条件收敛}。
\end{itemize}
这里证明构造$0<\frac{1}{2}(u_n+|u_n|)<|u_n|$
\section{曲面积分}
\href{https://blog.csdn.net/qq_52431436/article/details/118298581?ops_request_misc=%257B%2522request%255Fid%2522%253A%2522165206202416782391847236%2522%252C%2522scm%2522%253A%252220140713.130102334..%2522%257D&request_id=165206202416782391847236&biz_id=0&utm_medium=distribute.pc_search_result.none-task-blog-2~all~top_click~default-1-118298581-null-null.142^v9^control,157^v4^control&utm_term=%E6%9B%B2%E9%9D%A2%E7%A7%AF%E5%88%86&spm=1018.2226.3001.4187}{\underline{看这篇文章}}
\\
\href{https://open.163.com/newview/movie/free?pid=OEV9D04I1&mid=TEV9D04S4}{MIT 多元微分公开课}
\subsection{第一类曲面积分}
\[d S \cdot|\cos \gamma|=d \sigma\]
\[|\cos \gamma|=\text{法向量的任意方向的单位角}\]
\href{https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9B%B2%E9%9D%A2%E7%A7%AF%E5%88%86}{A better }\hypertarget{prove1}{prove:}($ \mathbf{r}=(x, y, z)=(x, y, f(x, y))$)
\[\begin{aligned}
    &\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x}=\left(1,0, f_{x}(x, y)\right),\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y}=\left(0,1, f_{y}(x, y)\right) \\
    A &=\iint_{T}\left\|\left(1,0, \frac{\partial f}{\partial x}\right) \times\left(0,1, \frac{\partial f}{\partial y}\right)\right\| d x d y \\
    &=\iint_{T}\left\|\left(-\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{\partial f}{\partial y}, 1\right)\right\| d x d y \\
    &=\iint_{T} \sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}+1} d x d y
    \end{aligned}\]
$\left|\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial s} \times \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}\right| d s d t  $在微分几何里又叫作流形$S$的面 积元素(Surface element)。要学会\textbf{灵活地}使用\textbf{微元}以及\textbf{隐函数求导}的思想计算问题。
\[\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_{x}}{F_{z}}, \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_{y}}{F_{z}}\]
\subsubsection{雅可比式}
\[\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}=\left|\begin{array}{ll}
    x_{u} & x_{v} \\
    y_{u} & y_{v}
    \end{array}\right|\]
\[\mathrm{d}[f_1 \cdots f_n]^T=\frac{\partial (f_1\cdots f_n)}{\partial (x_1\cdots x_n)} \mathrm{d} [x_1\cdots x_n]^T\]
\subsubsection{极坐标系形式}
还是主要是法向量（参数方程表示）。后面的$ds$也得注意
特别注意\href{https://zhuanlan.zhihu.com/p/376804428}{\textbf{[参数方程的法向量求法](zhihu)}}
证明依照上面的\hyperlink{prove1}{\textbf{证明公式}}
\begin{itemize}
    
   
    \item {\textbf{表达式：}}
\[\left(\frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)}, -\frac{\partial(x, z)}{\partial(u, v)}, \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right) \]
$\text { 即为点 }\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \text { 处法向量 }$
\item \textbf{球：}\[a^{2} \sin \phi(\sin \phi \cos \theta, \sin \phi \sin \theta, \cos \phi)\]
                \[a^2\sin \phi\]
\item \textbf{柱：}\[(a \cos \theta, a \sin \theta, 0)\]
 \[a\]
\item \textbf{锥：}\[ (z \cos (t) ,z \sin (t),-z) \]
\[\sqrt{2z}\]
\end{itemize}
对于第一类曲面积分来说：
\[\begin{aligned}
    &\iint_{\Sigma} f(x, y, z) d S=\\
    &\iint_{D} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))\times A\\
    &A=\sqrt{\left(\frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)}\right)^{2}+\left(\frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)}\right)^{2}+\left(\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right)^{2} }d u d v
    \end{aligned}\]
\subsubsection{对称性}
偶倍奇零(对于$xoy$面对于$z$)
\subsection{第二类曲线积分}
\begin{figure}[h]
\centering
\subfigbottomskip=2pt %两行子图之间的行间距
\subfigcapskip=-5pt %设置子图与子标题之间的距离
\subfigure[物理意义]{
\includegraphics[width=0.15\textwidth,height=0.15\textheight]{../../img/surface_integrate1.png}
}
\subfigure[极限形式]{
\includegraphics[width=0.15\textwidth,height=0.15\textheight]{../../img/surface integrate2.png}
}
\end{figure}
考虑S上的向量场v，对于每个S上的点x，v(x)是一个向量。想象一个穿过S的液体流。
\[\vec{v}=(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k\]
\[\vec{n}=(\cos(\alpha ),\cos(\beta ),\cos (\gamma ))\]
\[\begin{aligned}
    &
    \Phi=\int_\sum \vec{v}.\vec{n}\hspace{0.15cm} dS
    \\&=\int_\sum P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy
    \end{aligned}\]
曲面具有方向，法向量$\vec{n}$唯一，实际理解为流入和流出。
\subsubsection{第二类曲线积分的计算}
\[\begin{aligned}
    &\int_\sum P(x,y,z)dydz=\int_\sum\vec{v} .\vec{n} \hspace{0.15cm}dS\\
    &=\iint_{D_{xy}}P(x,y,z(x,y))\cos(\alpha ).\frac{1}{\cos(\alpha)}dxdy  \\
    &={\color{red} \iint_{D_{xy}} P(x,y,z(x,y))dxdy}\\
    &=\iint_{\Sigma}\left[P \frac{\cos \alpha}{\cos \gamma}\right] d x d y
\end{aligned}
    \]
    \subsubsection{对称性}
    法向量\textbf{同侧}，\textbf{偶倍奇零}
    \subsection{高斯公式，通度和散度} 
    \subsubsection{高斯公式}
    联系\textbf{曲面积分与三重积分}，注意\textbf{封闭曲面的外侧}
    \[\oiint_{\Sigma} P \mathrm{dydz}+Q \mathrm{dzdx}+R \mathrm{dxdy}=\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d} \Omega\]  
    方向取外侧。\\
    \subsection{斯托克斯公式}
    联系曲面积分和曲线积分 
    \section{曲线积分典型例题}

    \end{document}